By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch liegt jetzt in korrigierter zweiter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

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Seid leise! Aussagen werden zumeist mit großen lateinischen Buchstaben A, B, . . bezeichnet. Anstelle von A sei eine beliebige Aussage“ sagt man A sei eine ” ” Aussagenvariable“. Eine Aussagenvariable nimmt also die Werte 0 und 1 an. a. durch Bindew¨orter wie und“, oder“, wenn–dann“,. . ) auf vielfache Weise verkn¨ upft. Das Ergeb” ” ” nis dieser Verkn¨ upfung liefert in der Regel wieder eine Aussage, deren Wert (0 oder 1) abh¨ angig ist von den der verkn¨ upften Einzelaussagen. Im Rahmen der Aussagenlogik werden ein Teil der umgangssprachlichen Verkn¨ upfungen modelliert, in Teilen sogar erst pr¨ azise formuliert.

An .. f (a1 , a2 , . . , an ) .. ... 1 f (1, 1, . . , 1) (jedenfalls theoretisch) angeben. Effektivere Beschreibungen folgen weiter unten. Anwendungen finden bzw. untersucht werden die Booleschen Funktionen vorrangig in der • • Aussagenlogik und bei der mathematischen Beschreibung von Schaltungen bzw. den Bauelementen von Computern. Wir befassen uns hier nur mit einigen Eigenschaften der Booleschen Funktionen, die sich aus ihren Anwendungen in der Aussagenlogik ergeben. 6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate 37 Aussagen und Aussagenverbindungen Definition Eine Aussage ist ein Satz (einer nat¨ urlichen oder k¨ unstlichen Sprache), von dem es sinnvoll ist zu fragen, ob er wahr (Bezeichnung: 1) oder falsch (Bezeichnung: 0) ist.

Beispiel Sei A = R × R und K = R. Die Abbildung ∧K : R × R2 −→ R2 , (k, (x, y)) → (k · x, k · y) (· bezeichnet die u ¨ bliche Multiplikation von reellen Zahlen) ist eine ¨außere Verkn¨ upfung auf R2 mit dem Skalarbereich R. ¨ Definitionen Seien A und K nichtleere Mengen, R eine Aquivalenzrelation außere Verkn¨ upfung auf A. Man sagt auf A, ◦ eine innere und ∧K eine ¨ • R ist mit ◦ vertr¨ aglich (kompatibel) :⇐⇒ ∀a, a′ , b, b′ ∈ A : ((a, b) ∈ R ∧ (a′ , b′ ) ∈ R) =⇒ (a ◦ a′ , b ◦ b′ ) ∈ R. • aglich :⇐⇒ R ist mit ∧K vertr¨ ∀a, b ∈ A ∀k ∈ K : (a, b) ∈ R =⇒ (k ∧K a, k ∧K b) ∈ R.

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