By Ian Stewart, David Tall

First released in 1979 and written by means of unique mathematicians with a different reward for exposition, this booklet is now on hand in a very revised 3rd variation. It displays the interesting advancements in quantity concept prior to now twenty years that culminated within the evidence of Fermat's final Theorem. meant as a higher point textbook, it's also eminently acceptable as a textual content for self-study.

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Angenommen es sei (a + b) : b = (c + d) : d. Dann ist ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit (a + b) : b < (c + d) : d. Es gibt also m, n ∈ N mit m(a + b) ≤ nb und m(c + d) > nd. Es folgt ma + mb ≤ nb und damit mb < nb. Hieraus folgt n − m ∈ N und ma ≤ (n − m)b. Wegen a : b = c : d ist dann mc ≤ (n − m)d. Hieraus folgt der Widerspruch m(c + d) = mc + md ≤ (n − m)d + md = nd < m(c + d). 19. Es sei P ein Gr¨ oßenbereich. Ferner seien a, b, c, d ∈ P . Ist (a+b) : (c+d) = a : c, so ist auch (a + b) : (c + d) = b : d.

Somit ist Y ∈ R+ . Da man jedes Element von X durch n dividieren kann, ist {ny | y ∈ Y } = X. Mit g) folgt schließlich nY = X. i) Es gibt ein y ∈ Y und ein z ∈ X. Es gibt ferner ein n ∈ N mit ny > z. Es folgt ny ∈ X. Daher ist nY ≤ X und folglich nY > X. Damit ist alles bewiesen. Das Element Y aus h) ist eindeutig bestimmt. Sind n¨ amlich U , V ∈ R+ und ist U > V , so gibt es ein W ∈ R+ mit U = V ⊕ W . Es folgt nU = nV ⊕ nW > nV , so dass die Abbildung U → nU injektiv ist. Soviel zun¨ achst an Vorbereitung, die uns helfen wird, das N¨ achste besser zu verstehen.

10 ist daher b > d. Die restlichen Aussagen beweisen sich ¨ahnlich, so Euklid. 15. Sind a und b Gr¨ oßen desselben Gr¨ oßenbereichs und ist k ∈ N, so ist ka : kb = a : b. k ur alle i. Entsprechend ist kb = Beweis. 12 folgt i:=1 βi . Es folgt αi : βi = a : b f¨ k ka : kb = k αi : i:=1 βi = a : b. 16. Sind a, b, c und d Gr¨ oßen desselben Gr¨ oßenbereichs und ist a : b = c : d, so ist auch a : c = b : d. 3. Proportionenlehre 31 Beweis. Es seien m, n ∈ N. 15 ist a : b = ma : mb. 11 auch c : d = ma : mb.

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Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem (3rd by Ian Stewart, David Tall
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