By Claus Scheiderer

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Xn ] der Polynomring u ¨ber einem K¨ orper k (mit der Standardgraduierung), so enth¨alt S+ jedes homogene Ideal I = (1). ur 3. Betrachten wir auf k[x1 , . . xn ] die Zn+ -Graduierung mit deg(xα ) = α (f¨ uglich homogenen Ideale genau die monomialen Ideale. 5. Lemma. Sei S ein G-graduierter Ring. (a) Summen, Produkte und Durchschnitte von homogenen Idealen sind wieder homogen. (b) Ist I ein homogenes Ideal, so wird S/I durch (S/I)g = (Sg + I)/I (f¨ ur g ∈ G) ein G-graduierter Ring. Der nat¨ urliche Epimorphismus S → S/I ist graduiert.

Dann gibt es ein Ideal I von S, welches maximal ist bez¨ uglich “I ist homogen und I ∩ T = ∅”. Jedes solche Ideal I ist ein Primideal. 7. 9. Korollar. F¨ ur jedes homogene Ideal I von √ S ist I Durchschnitt von homogenen Primidealen. Insbesondere ist das Ideal I ebenfalls homogen. Beweis. E. sei I = (0). Sei s ∈ S nicht nilpotent. 8 auf T = {1, s, s2 , . . } gibt ein homogenes Primideal von S, welches s nicht enth¨ alt. Genauer gilt sogar (siehe Aufgabe 23): Jeder minimale Primteiler von I ist homogen.

Yn ]/J nach A = k[x1 , . . , xm ]/I induziert wird. Sei ψ(yj ) := fj (j = 1, . . , n). Wir haben also das kommutative Quadrat k[y1 , . . , yn ] ψ α β  B / k[x1 , . . , xm ] ϕ  /A Unter β identifiziert sich ker(ϕ) mit dem Ideal ψ −1 (I) J. Es kommt also nur darauf an, das Urbild eines Ideals I unter einem Homomorphismus ψ : k[y1 , . . , yn ] → k[x1 , . . , xm ], ψ(yj ) = fj (j = 1, . . , n) zwischen Polynomringen zu bestimmen. Zur Abk¨ urzung schreibe x := (x1 , . . , xm ) und y := (y1 , .

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Algebraische Geometrie, Edition: version 15 Oct 2007 by Claus Scheiderer
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