By Jürgen Neukirch

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, smooth und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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Wie immer eine ideale Zahl a definiert ist, sie soll mit den Zahlen a E o K in einer Teilbarkeitsrelation a I a stehen, die für a, b, A E o K die Regeln ala und alb :=;. ala ± b; ala :=;. Xa erfüllt, und sie soll durch die Gesamtheit g_ = {a E oK I ala} aller Zahlen a E o K , die sie teilt, eindeutig bestimmt sein. Diese Gesamtheit ist aber wegen der angegebenen Teilbarkeitsregeln ein Ideal von OK. Aus diesem Grund sind die Kummersehen "idealen Zahlen" von RICHARD DEDEKIND als die Ideale von OK eingeführt worden.

Der Integritätsbereich o = OK/P entsteht aus K = ZjpZ durch Adjunktion yn § 3. Ideale 19 algebraischer Elemente und ist somit ein Körper (man erinnere sich an ~[ a] = ~(a), wenn a algebraisch ist). D Auf die drei soeben bewiesenen Eigenschaften des Ringes o K gründet sich die ganze Teilbarkeitslehre seiner Ideale. 2) Definition. Ein noetherscher, ganzabgeschlossener Integritätsbereich, in dem jedes von Null verschiedene Primideal ein maximales Ideal ist, heißt Dedekindring. So wie die Ringe OK als Verallgemeinerung des Ringes Z anzusehen sind, so kann man die Dedekindringe als Verallgemeinerung der Rauptidealringe ansehen.

I=l Beweis: Der Beweis beruht auf dem chinesischen Restsatz OjpO ~ r EB 0/~~·. i=l OjpO und 0/~~· sind Vektorräume über dem Körper genügt zu zeigen, daß dim~(OjpO) =n und dim~(O/~~·) K = ojp, und es = edi. h. dim~(OjpO) < oo). Es genügt zu zeigen, daß w11 ••• ,wm eine Basis von § 8. Erweiterungen von Dedekindringen 49 LIK ist. Angenommen, die wb ... ,wm sind linear abhängig überKund damit über o. Es gibt dann nicht sämtlich verschwindende Elemente ab ... , am E 0 mit a1 WI + · · · + amWm = 0 . Wir betrachten das Ideal a = (ab ...

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Algebraische Zahlentheorie (Springer-Lehrbuch Masterclass) by Jürgen Neukirch
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