By Skoruppa N.-P.

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Stochastic Analysis and Related Topics VIII: Silivri Workshop in Gazimagusa (North Cyprus), September 2000

During the last years, stochastic research has had an incredible growth with the impetus originating from varied branches of arithmetic: PDE's and the Malliavin calculus, quantum physics, course house research on curved manifolds through probabilistic equipment, and extra. This quantity includes chosen contributions that have been offered on the eighth Silivri Workshop on Stochastic research and similar subject matters, held in September 2000 in Gazimagusa, North Cyprus.

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Qn 2pn √ von 5−1 2 Wir kehren zur¨ uck zur allgemeinen Theorie der konvergenten Folgen. Satz. Jede konvergente Folge ist beschr¨ankt. Beweis. Sei limn→∞ an = a. Zu > 0 gibt es ein n0 , sodaß f¨ ur n > n0 stets |an − a| < , also a − < an < a + gilt. Also liegen fast alle an in dieser – Umgebung von a. Eine Schranke f¨ ur alle |an | ist daher |an | ≤ max (|a + | , |a − | , |a0 | , |a1 | , . . , |an0 |). Hauptsatz f¨ ur konvergente Folgen Satz. Seien limn→∞ an = a und limn→∞ bn = b. Dann gilt: 1.

H. 1 |bn | < 2 |b| f¨ ur fast alle n. Unter einer Teilfolge einer Folge {an }n∈N versteht man eine Folge der Gestalt {akn }n∈N , wo {kn }n∈N eine streng monoton steigende Folge von nat¨ urlichen Zahlen bedeutet. Der folgende Satz ist fast offensichtlich. Satz. Jede Teilfolge einer gegen eine Zahl a konvergenten Folge ist konvergent, und zwar ebenfalls gegen a. Beweis. Zu gegebenen > 0 ist f¨ ur fast alle n stets |a − an | < ; also ist auch |a − akn | < , da ja kn ≥ n. ✻ UNENDLICHE REIHEN Wir beginnen mit einer Definition.

Kann man etwas ¨ahnliches f¨ ur den Kreis durchf¨ uhren ? Die Gleichung, die den Kreis beschreibt — etwa in der (ξ, η)–Ebene vom Radius 1 und mit Mittelpunkt in (0, 0) — ist gegeben durch ξ 2 + η 2 = 1. Unendliche Reihen 59 Formal kommt man von der Hyperbel zum Kreis, indem man η durch 1i η ersetzt, wo i die imagin¨are Einheit bedeutet, also eine L¨osung der Gleichung 2 2 x2 = −1. Da nun f¨ ur jedes x stets (cosh (x)) + (sinh (x)) = 1 ist, erhalten wir durch formales Einsetzen, daß f¨ ur jedes x auch 2 (cosh (x)) + 1 · sinh (x) i 2 =1 Allerdings ist das keine Parametrisierung des Kreises, da ja 1i · sinh (x) nicht reell ist.

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